けいおん！ #7

今回はクリスマス会を開くということで、バンドの仲間と幼なじみの子と妹と、あと飛び入りで顧問の先生の7人が集まった。その7人でプレゼント交換を行った。プレゼントは自分の用意したプレゼントを隣に回していくのではなく、先生が適当に渡していった。事前の説明では、自分の用意したプレゼントを渡されたらやり直しだったが、先生が適当に交換してしまった。
プレゼントを配るのが完全にランダムで、事前の説明どおりに自分の用意したプレゼントだったらやり直し、だったら平均何回プレゼントを配らなければならないだろうか。

ラフに考えると、人数nが大きければある人に渡されたプレゼントが自分の用意したプレゼントでない確率は1-1/nだから、全員がそうである確率は(1-1/n)ⁿなので、これは1/eに収束する。しかし、これはゆるやかに収束する。きちんと計算すると同じく1/eに収束するが、非常に速く収束する。7人でも回数の期待値はeに非常に近く、誤差率は1/10000もない。