44種類のポスターを揃えるには何枚買う必要があるか（3）

確率分布を求める。
すなわち、n枚買って44種類のポスターがはじめて揃う確率を求める。

まず、簡単のために、ポスターの種類をN=3として考える。
最初にポスターを買うと、1種類が手に入る。

次にポスターを買ったとき、さっきのとダブっていない確率は2/3、
2枚買ってはじめてダブらない確率は2/9、
3枚買ってはじめてダブらない確率は2/27、となる。

次にポスターを買ったとき、さっきのとダブっていない確率は1/3、
2枚買ってはじめてダブらない確率は2/9、
3枚買ってはじめてダブらない確率は4/27、となる。

まとめると、n種類目のポスターをk枚買ってはじめてダブらない確率をp_n,kとすると、

p_1,1 = 1
p_2,1 = 2/3, p_2,2 = 2/9, p_2,3 = 2/27, ...
p_3,1 = 1/3, p_3,2 = 2/9, p_3,3 = 4/27, ...

3枚買って3種類揃う確率は、
いずれも一発でダブらないから、
p_1,1 * p_2,1 * p_3,1 = 1 * 2/3 * 1/3 = 2/9

4枚買ってはじめて3種類揃う確率は、
2種類目が2枚買ってダブらなくて、3種類目が1枚でダブらない、
2種類目が1枚買ってダブらなくて、3種類目が2枚でダブらない、
の両方をたしたものだから、
p_1,1 * p_2,2 * p_3,1 + p_1,1 * p_2,1 * p_3,2 = 1 * 2/9 * 1/3 + 1 * 2/3 * 2/9 = 2/9

この計算は、
P₁(x) = p_1,1x
P₂(x) = p_2,1x + p_2,2x² + p_2,3x³ + ...
P₃(x) = p_3,1x + p_3,2x² + p_3,3x³ + ...
をかけあわせたときの、x⁴の係数の計算と同じである。
同様に、n枚買ってはじめて3種類そろう確率は、xⁿの係数である。

ポスターが44種類のときも同じように、


として、P(x)の係数を調べればよい。

xⁿの係数をp_nとして、
主要な確率を抜き出すと、

p₄₄ = 1.29623E-18
p₁₀₀ = 0.000608049
p₁₆₆ = 0.00885773    （この確率が一番高い）
p₂₀₀ = 0.00685033
p₃₀₀ = 0.000995932
p₄₀₀ = 0.000103451
p₅₀₀ = 1.04166E-05
p₆₀₀ = 1.04577E-06
p₇₀₀ = 1.04961E-07
p₈₀₀ = 1.05343E-08
p₉₀₀ = 1.05727E-09
p₁₀₀₀ = 1.06112E-10

use strict;
my $nMembers = 44;

my $limit = 1000;

my @p = ( 1 );
my $N = $nMembers;

for my $n(0..$N-1) {

    my @p_n = ( 0, ($N - $n) / $N );

    for my $i(2..$limit-$n) {

        $p_n[$i] = $p_n[$i-1] * $n / $N;

    }

    

    my @p_next;

    for my $i(0..$limit) {

        for my $k(0..$limit-$i) {

            $p_next[$i+$k] += $p[$i] * $p_n[$k];

        }

    }

    

    @p = @p_next;

}
for my $n($N..$limit) {

    printf "%d %10g\n", $n, $p[$n];

}